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Tension hachée et pertes par effet Joule (3)

Annexe technique : les équations en conduction discontinue

publié par Pierre, Jean-Luc, le mardi 1er octobre 2013

Tags alimentation traction

Voici maintenant les équations du courant dans le moteur ainsi que le calcul des pertes par effet Joule pour la conduction discontinue. L’article suivant traitera de la conduction continue.

On rappelle les grandeurs manipulées :

  • U0 — la tension d’alimentation du moteur ;
  • VD — la tension de seuil de la diode roue libre ;
  • E — la force contre-électromotrice ;
  • L — l’inductance du moteur ;
  • R — la résistance du moteur ;
  • T — la période de la PWM ;
  • h — le rapport cyclique de la PWM ;
  • hc — le temps au bout duquel la diode roue libre cesse de conduire.

h et hc sont exprimés relativement à la période T.

On rappelle la forme générale de la tension et du courant en conduction discontinue :

PNG - 14.4 ko
Tension aux bornes du moteur en conduction discontinue
Pendant A sur une durée h, le moteur est alimenté, Pendant B1 et B2, il ne l’est pas. Pendant B1, la diode roue libre conduit. Au bout de hc la diode roue libre cesse de conduire et le courant s’annule. Pendant B2, la force contre-électromotrice apparaît aux bornes du moteur.
PNG - 19.4 ko
Courant qui circule dans le moteur en conduction discontinue
Pendant A, il croit exponentiellement jusqu’à atteindre Imax. Pendant B1, il décroit exponentiellement jusqu’à atteindre 0 au bout de hc. Pendant B2, il reste à 0.

Pour ce qui suit, on pose :

PNG - 6.9 ko
(1)

Les formules et équations

Le courant moyen dans le moteur :

PNG - 9.6 ko
(2)

Le courant maximum dans le moteur :

PNG - 9.4 ko
(3)

La relation donnant hcLn désigne le logarithme népérien :

PNG - 10.8 ko
(4)

La puissance moyenne consommée par le moteur :

PNG - 9.1 ko
(5)

La puissance moyenne utile (transformée en puissance mécanique) :

PNG - 7.2 ko
(6)

Les pertes par effet Joule dans la diode roue libre :

PNG - 10.8 ko
(7)

Les pertes par effet Joule dans le moteur :

PNG - 7.2 ko
(8)

Le courant efficace :

PNG - 8.2 ko
(9)

Calcul du rapport cyclique h. On ne peut pas obtenir h simplement, il faut résoudre l’équation :

PNG - 14.9 ko
(10)

En fait, on peut procéder de manière itérative en remarquant que l’exponentielle a une faible influence sur la valeur de h ; on calcule donc une première approximation :

PNG - 8 ko

Et on utilise la formule (10) pour converger vers le point fixe.

Il est important de remarquer qu’en conduction discontinue, la période T a une influence sur h.

Plusieurs remarques :

  • si on trouve hc (ou h) supérieur à 1, c’est que l’hypothèse de conduction discontinue n’est pas vérifiée : la conduction est en fait continue ;
  • calculer directement l’expression du courant efficace est très compliqué : on préfère déduire les pertes par effet Joule dans le moteur à partir des autres puissances.

Détail des calculs en conduction discontinue

Les équations différentielles du courant dans le moteur sont :

  • pour 0 ≤ thT
PNG - 8.4 ko

avec i(0) = 0 et i(hT) = Imax

  • pour hTthcT
PNG - 8.4 ko

avec i(hT) = Imax et i(hcT) = 0

  • pour hcTtT
PNG - 6.5 ko

Nous pouvons calculer le courant moyen Imoy dans le moteur sans avoir calculé Imax :

PNG - 13.6 ko

Nous calculons successivement Imoy0 et Imoy1. Nous écrivons l’équation différentielle du courant entre 0 et hT sous la forme :

PNG - 8.3 ko

Ainsi :

PNG - 17.5 ko
(11)

De même, nous écrivons l’équation différentielle du courant entre hT et hcT sous la forme :

PNG - 9.1 ko

Ainsi :

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(12)

Et de (11) et (12) :

PNG - 14.9 ko

Pour calculer Imax, nous résolvons l’équation différentielle en 0 et hT :

PNG - 8.5 ko

La valeur de Imax est simplement l’expression de ce courant à l’instant hT :

PNG - 9.3 ko

Nous pouvons maintenant calculer hc ; pour cela, nous résolvons l’équation différentielle du courant entre hT et hcT :

PNG - 10.2 ko

Puis on exprime que le courant est nul à l’instant hcT :

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Il vient :

PNG - 10.7 ko

Nous allons maintenant évaluer les valeurs moyennes des différentes puissances qui entrent en jeu :

  • Pc valeur moyenne de la puissance totale consommée ;
  • Pu valeur moyenne de la puissance utile, c’est à dire la puissance électrique transformée en puissance mécanique ;
  • PJm valeur moyenne des pertes Joules du moteur ;
  • PJd valeur moyenne des pertes Joules dans la diode roue libre.

Ces valeurs sont liées par la relation :

PNG - 7.5 ko

Il est difficile d’évaluer directement PJm, sa valeur sera obtenue à partir des valeurs des autres puissances. La valeur moyenne de la puissance totale consommée est égale à la puissance moyenne fournie par la source :

PNG - 9.8 ko

Or, iS est égal à i entre 0 et hT et est nul entre hT et T :

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Nous avons déjà calculé cette intégrale en (11) ; d’où :

PNG - 9.8 ko

La puissance utile instantanée est égale au produit de la fcem du moteur par valeur instantanée du courant i dans le moteur ; comme la fcem est constante, sa valeur moyenne est donnée par :

PNG - 10.7 ko

L’expression des pertes Joules dans la diode (le signe moins apparaît car u et id ont même orientation) :

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Le courant dans la diode est nul entre 0 et ht et vaut i entre hT et T ; dans cet intervalle, la chute de tension directe dans la diode est considérée constante et égale à VD. Donc u = -VD.

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Cette intégrale a déjà été calculée en (12), d’où :

PNG - 10.6 ko

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