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Tension hachée et pertes par effet Joule (2)

La conduction discontinue et la conduction continue

publié par Pierre, Jean-Luc, le vendredi 20 septembre 2013

Tags alimentation traction

Nous allons maintenant examiner les deux types de conduction. Les formules et équations seront données en annexe dans un prochain article.

Pour simplifier on va considérer un hachage dont le rapport cyclique est de 50%. C’est à dire que l’interrupteur est fermé autant de temps qu’il est ouvert. Comme ceci :

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Commande du transistor qui remplit le rôle d’interrupteur
Pendant A, l’interrupteur est fermé. Pendant B, il est ouvert

On rappelle les grandeurs que l’on utilise :

  • U0 est la tension d’alimentation ;
  • E est la force contre-électromotrice du moteur ;
  • VD est la tension de seuil de la diode.

La conduction discontinue

La conduction discontinue correspond au cas où la fréquence de hachage est suffisamment faible pour que le courant dans le moteur ait le temps d’atteindre sa valeur maximum quand l’interrupteur est fermé et le temps de retomber à 0 quand l’interrupteur est ouvert.

Quand on mesure la tension aux bornes du moteur, on obtient ceci :

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Tension aux bornes du moteur en conduction discontinue
Pendant A sur une durée h, le moteur est alimenté, Pendant B1 et B2, il ne l’est pas. Pendant B1, la diode roue libre conduit. Au bout de hc la diode roue libre cesse de conduire et le courant s’annule. Pendant B2, la force contre-électromotrice apparaît aux bornes du moteur.

Si on mesure le courant qui circule dans le moteur, on obtient ceci :

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Courant qui circule dans le moteur en conduction discontinue
Pendant A, il croit exponentiellement jusqu’à atteindre Imax. Pendant B1, il décroit exponentiellement jusqu’à atteindre 0 au bout de hc. Pendant B2, il reste à 0.

La conduction continue

La conduction continue correspond au cas où la fréquence de hachage est suffisamment élevée pour que le courant dans le moteur n’ait pas le temps d’atteindre sa valeur maximum quand l’interrupteur est fermé ni le temps de devenir nul quand l’interrupteur est ouvert.

Comme le courant n’a pas le temps de s’annuler, la diode roue libre conduit pendant tout le temps où l’interrupteur est ouvert et la tension aux bornes du moteur varie comme ceci :

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Tension aux bornes du moteur en conduction continue
Pendant A, le moteur est alimenté, Pendant B, il ne l’est pas et la diode roue libre conduit.

En conduction continue, la force contre-électromotrice n’apparaît pas aux bornes du moteur.

Le courant i dans le moteur, valant I0 au moment où l’interrupteur se ferme, croît exponentiellement jusqu’à atteindre la valeur Ih au bout de h ; en pratique, la constante de temps permet d’assimiler cette exponentielle à un segment de droite. Quand l’interrupteur se ferme, le courant décroît exponentiellement jusqu’à I0 ; en fait, pour la même raison, c’est aussi un segment de droite.

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Courant qui circule dans le moteur en conduction continue

Quelques résultats

D’abord le moteur est caractérisé par deux grandeurs, sa résistance R et son inductance L. Pour la locomotive à l’échelle N précédente (Roco BR 80), R = 13Ω, et une mesure directe de l’inductance donne L = 0,59mH.

Ensuite, il nous faut un point de fonctionnement comme base de calcul. Nous prenons celui présenté dans le premier article ainsi, nous pourrons faire des comparaisons directes des résultats obtenus. Voici un rappel de ce point de fonctionnement.

La locomotive tracte huit wagons sous une tension de 7,5V et consomme un courant d’environ 355mA.

On en déduit :

  • le fcem du moteur : 7,5V - 13Ω × 355mA = 2,89V ;
  • la puissance électrique : 7,5V × 355mA = 2,66W ;
  • la puissance mécanique fournie : 2,89V × 355mA = 1,02W ;
  • les pertes par effet Joule : 13Ω × 355mA × 355mA = 1,64W.

Si une tension hachée déplace la locomotive à la même vitesse pour la même charge que la tension continue, alors :

  • la fcem, qui dépend que de la vitesse de rotation du moteur, est la même : 2,89V ;
  • la puissance mécanique du moteur est la même : on en déduit que la valeur moyenne Imoy du courant haché est égale à la valeur du courant continu (355mA), et ceci que la conduction soit continue ou non.

Fréquence limite de conduction continue

Il s’agit de la fréquence de la PWM telle que la conduction cesse d’être discontinue et devient continue pour différentes tensions d’alimentation. La tension de seuil de la diode roue libre VD est fixée à 0,6V.

U0 Fréquence limite pour VD=0,6V
9V 3 492 Hz
12V 7 434 Hz
15V 9 331 Hz
18V 10 573 Hz
20V 11 192 Hz

Pour calculer les pertes par effet Joule des deux modes de conduction, on va fixer la fréquence de la PWM bien en dessous de ce seuil pour la conduction discontinue et bien au dessus de ce seuil pour la conduction continue.

Dans les tableaux qui suivent, on va s’intéresser aux valeurs de :

  • h : le rapport cyclique de la PWM ;
  • Imax : le courant maximum dans le moteur ;
  • hc : le temps en % de la période de la PWM au bout duquel le courant devient nul ;
  • Pc : la puissance moyenne consommée par le moteur ;
  • PJd : la puissance dissipée dans la diode par effet Joule ;
  • PJm : la puissance dissipée dans le moteur par effet Joule.

Conduction discontinue

En conduction discontinue, on considère deux fréquences de hachage, 100Hz et 500Hz, et 3 tensions U0 d’alimentation.

Fréquence de la PWM U0 h Imax hc Pc PJd PJm
100Hz 9V 75.8% 470mA 76.3% 3.19W 0.00W 2.16W
500Hz 9V 76.8% 470mA 79.1% 3.15W 0.01W 2.12W
100Hz 12V 50.9% 701mA 51.5% 4.24W 0.00W 3.21W
500Hz 12V 51.8% 701mA 54.7% 4.16W 0.01W 3.13W
100Hz 15V 38.3% 932mA 39.0% 5.29W 0.00W 4.26W
500Hz 15V 39.1% 932mA 42.5% 5.14W 0.01W 4.11W

On voit que la tension hachée basse fréquence alliée à une source de tension élevée est très stressante pour le moteur : à 100Hz sous 12V, les pertes Joules (et donc l’échauffement du moteur) sont presque 2 fois plus élevées qu’en tension continue. À 100Hz sous 15V, les pertes Joules sont 2,6 fois celles du fonctionnement sous tension continue !

On voit aussi qu’augmenter la fréquence de hachage diminue les pertes par effet Joule. Dans tous les cas, les pertes par effet Joule dans la diode sont très faibles.

Conduction continue

En conduction continue, on considère également 2 fréquences de hachage, 20kHz et 40kHz, et 3 tensions U0 d’alimentation. Le 32kHz et 12V ont été ajoutés car c’est ce que nous utilisons dans les cartes 4 alimentations [1].

Fréquence de la PWM U0 h I0 Ih Pc PJd PJm
20kHz 12V 64.3% 229mA 469mA 2.80W 0.07W 1.70W
32kHz 12V 64.3% 277mA 428mA 2.76W 0.07W 1.66W
40kHz 12V 64.3% 292mA 414mA 2.76W 0.08W 1.65W
20kHz 20V 39.3% 159mA 566mA 2.97W 0.12W 1.82W
20kHz 25V 31.7% 141mA 600mA 3.04W 0.14W 1.87W

Les résultats parlent d’eux-mêmes : sous 20kHz et 12V, les pertes Joules sont de 1,70W, quasiment égales aux pertes en continu qui rappelons le sont de 1,64W. Sous 25V à la même fréquence, les pertes Joules sont inférieures à celles sous 9V à 100Hz.

Et les moteurs à rotor sans fer dans tout cela

Hormis une construction mécanique différente, ces moteurs sont caractérisés par une inductance plus faible et une inductance plus faible va conduire à l’augmentation du courant efficace et donc augmenter les pertes par effet Joule en conduction discontinue. De plus, et c’est particulièrement vrai à l’échelle N, les moteurs sont plus petits et dissipent moins bien la chaleur. Par ailleurs, étant plus petits, il ont une résistance plus forte. Ainsi le moteur Faulhaber 1016N012G de 10mm de Ø a une résistance de 95Ω [2]. Un moteur plus gros, le Faulhaber 2224SR012 de 22mm de Ø a une résistance de 8,71Ω [3].

Pour toutes ces raisons, il est important de réduire les pertes par effet Joule au minimum pour les petits moteurs et spécialement pour les moteurs à rotor sans fer.

Mais alors pourquoi trouve-t-on dans le commerce ou en construction amateur des alimentation basse fréquence ?

Hacher à basse fréquence permet d’obtenir d’excellents ralentis. En effet, comme la conduction est discontinue, le courant atteint sa valeur maximum et par conséquent le couple instantané est important et donc le ralenti est meilleur. Il est d’autant meilleur que la tension en importante puisqu’elle conduira à un courant plus fort [4].

Mais ces alimentations sont stressantes pour les petits moteurs et les moteurs à rotor sans fer.

Conclusion

D’un point de vue énergétique, la tension continue pure est la meilleure : elle minimise les pertes Joule. Cependant, elle présente à mon avis deux défauts :

  • elle ne permet pas d’obtenir de bons ralentis ;
  • si elle minimise les pertes Joule dans le moteur, celles dans le transistor de puissance qui n’est pas en régime saturé sont importantes, ce qui impose un radiateur de forte dimension.

À mon avis, la meilleure solution est la tension hachée en conduction continue (le transistor fonctionne en commutation). Elle impose au moteur une surchauffe minime. Il faut se placer largement au dessus de la fréquence limite, en vérifiant que le transistor de commutation et l’alimentation puissent suivre à la fréquence choisie. De plus, choisir une fréquence au delà des fréquences audibles est souhaitable.

Évidemment, la tension hachée en conduction continue présente le même défaut qu’une tension continue pure, la mauvaise qualité des ralentis.

Ce défaut disparaît si le rapport cyclique est asservi à la vitesse réelle. La vitesse de la locomotive n’est pas le résultat d’une PWM choisie par le conducteur. La vitesse est une consigne de fcem. L’alimentation interrompt périodiquement la PWM afin de mesurer la fcem. Si la fcem mesurée est plus petite que la consigne, on augmente la PWM, si elle est plus grande on diminue la PWM [5]. De cette manière, la PWM est adaptée en permanence de manière à conserver une vitesse constante. Cette régulation joue aussi le rôle de compensation de charge et fait que quelle que soit [6] la pente ou la rame tractée, la vitesse sera celle voulue par la consigne.

Notes

[1C’est aussi la fréquence de hachage utilisées dans les décodeurs Viessmann 5242, 5243 ou encore 5248.

[4C’est un peu comme quand on emploie un marteau pour ajuster des pièces. En tapant des petits coups, la pièce va bouger et aller à sa place doucement (alimentation hachée). En appuyant dessus fortement, la pièce ne bouge pas jusqu’à ce que la force soit assez grande et là elle bouge d’un coup et plus loin que prévu (alimentation continue)

[5Il faut calculer cette commande dans les règles de l’art de l’automatique

[6Dans les limites de ce que peut accomplir la locomotive

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