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Tension hachée et pertes par effet Joule (4)

Jean-Luc, Pierre — 2013-11-24T10:00:00Z

Nous terminons la série d'articles par les équations du courant dans le moteur ainsi que le calcul des pertes par effet Joule pour la conduction continue.

On rappelle les grandeurs manipulées :

U₀ — la tension d'alimentation du moteur ;
V_D — la tension de seuil de la diode roue libre ;
E — la force contre-électromotrice ;
L — l'inductance du moteur ;
R — la résistance du moteur ;
T — la période de la PWM ;
h — le rapport cyclique de la PWM ;

h est exprimé relativement à la période T.

On rappelle la forme générale de la tension et du courant en conduction continue :

Tension aux bornes du moteur en conduction continue

Pendant A, le moteur est alimenté, Pendant B, il ne l'est pas et la diode roue libre conduit.

Courant qui circule dans le moteur en conduction continue

Pour ce qui suit, on pose :

(1)

Les formules et les équations

Le courant moyen dans le moteur :

(11)

Le courant minimum dans le moteur :

(12)

Le courant maximum dans le moteur :

(13)

La puissance moyenne consommée par le moteur :

(14)

La puissance moyenne utile (transformée en puissance mécanique) :

(15)

Les pertes par effet Joule dans la diode roue libre :

(16)

Les pertes par effet Joule dans le moteur :

(17)

Le courant efficace :

(18)

Plusieurs remarques :

si on trouve I₀ négatif, c'est que l'hypothèse de conduction continue n'est pas vérifiée : la conduction est en fait discontinue ;
comme pour la conduction discontinue, calculer directement l'expression du courant efficace est très compliqué : on préfère déduire les pertes par effet Joule à partir des autres puissances.

Détail des calculs en conduction continue

Les équations différentielles du courant dans le moteur sont :

pour 0 ≤ t ≤ hT

avec i(0) = 0 et i(hT) = I_h

pour hT ≤ t ≤ T

avec i(hT) = I_h et i(T) = I₀

Nous pouvons calculer le courant moyen I_moy dans le moteur sans avoir calculé ni I₀ ni I_h.

(38)

Nous calculons successivement I_moy0 et I_moy1. Nous écrivons l'équation différentielle du courant entre 0 et hT sous la forme :

(39)

Ainsi :

(40)

(41)

De même, nous écrivons l'équation différentielle du courant entre hT et T sous la forme :

(42)

Ainsi :

(43)

(44)

de 41 et 44 :

(45)

Pour calculer I₀ et I_h, nous avons besoin de résoudre les équations différentielles :
Entre 0 et hT :

(46)

Entre hTet T :

(47)

Puis on exprime que le courant ne présente pas de discontinuité en t = hT :

(48)

et en t = T :

(49)

Il faut donc résoudre en I₀ et I_h le système où on a posé

(50)

On obtient :

(51)

et :

(52)

Nous allons maintenant évaluer les valeurs moyennes des différentes puissances qui entrent en jeu :

P_c valeur moyenne de la puissance totale consommée ;
P_u valeur moyenne de la puissance utile, c'est à dire la puissance électrique transformée en puissance mécanique ;
P_Jm valeur moyenne des pertes Joules du moteur ;
P_Jd valeur moyenne des pertes Joules dans la diode roue libre.

Ces valeurs sont liées par la relation :

(53)

Il est difficile d'évaluer directement P_Jm, sa valeur sera obtenue à partir des valeurs des autres puissances. La valeur moyenne de la puissance totale consommée est égale à la puissance moyenne fournie par la source :

(54)

Or, i_S est égal à i entre 0 et hT et est nul entre hT et T :

(55)

Nous avons déjà calculé cette intégrale en 41 ; d'où :

(56)

La puissance utile instantanée est égale au produit de la fcem du moteur par valeur instantanée du courant i dans le moteur ; comme la fcem est constante, sa valeur moyenne est donnée par :

(57)

L'expression des pertes Joules dans la diode (le signe moins apparaît car u et i_d ont même orientation) :

(58)

Le courant dans la diode est nul entre 0 et ht et vaut i entre hT et T ; dans cet intervalle, la chute de tension directe dans la diode est considérée constante et égale à V_D.
Donc u=-V_D.

(59)

Cette intégrale a déjà été calculée en (44), d'où :

(60)

Tension hachée et pertes par effet Joule (3)

Jean-Luc, Pierre — 2013-10-01T06:05:31Z

Voici maintenant les équations du courant dans le moteur ainsi que le calcul des pertes par effet Joule pour la conduction discontinue. L'article suivant traitera de la conduction continue.

On rappelle les grandeurs manipulées :

U₀ — la tension d'alimentation du moteur ;
V_D — la tension de seuil de la diode roue libre ;
E — la force contre-électromotrice ;
L — l'inductance du moteur ;
R — la résistance du moteur ;
T — la période de la PWM ;
h — le rapport cyclique de la PWM ;
h_c — le temps au bout duquel la diode roue libre cesse de conduire.

h et h_c sont exprimés relativement à la période T.

On rappelle la forme générale de la tension et du courant en conduction discontinue :

Tension aux bornes du moteur en conduction discontinue

Pendant A sur une durée h, le moteur est alimenté, Pendant B1 et B2, il ne l'est pas. Pendant B1, la diode roue libre conduit. Au bout de h_c la diode roue libre cesse de conduire et le courant s'annule. Pendant B2, la force contre-électromotrice apparaît aux bornes du moteur.

Courant qui circule dans le moteur en conduction discontinue

Pendant A, il croit exponentiellement jusqu'à atteindre I_max. Pendant B1, il décroit exponentiellement jusqu'à atteindre 0 au bout de h_c. Pendant B2, il reste à 0.

Pour ce qui suit, on pose :

(1)

Les formules et équations

Le courant moyen dans le moteur :

(2)

Le courant maximum dans le moteur :

(3)

La relation donnant h_c où Ln désigne le logarithme népérien :

(4)

La puissance moyenne consommée par le moteur :

(5)

La puissance moyenne utile (transformée en puissance mécanique) :

(6)

Les pertes par effet Joule dans la diode roue libre :

(7)

Les pertes par effet Joule dans le moteur :

(8)

Le courant efficace :

(9)

Calcul du rapport cyclique h. On ne peut pas obtenir h simplement, il faut résoudre l'équation :

(10)

En fait, on peut procéder de manière itérative en remarquant que l'exponentielle a une faible influence sur la valeur de h ; on calcule donc une première approximation :

Et on utilise la formule (10) pour converger vers le point fixe.

Il est important de remarquer qu'en conduction discontinue, la période T a une influence sur h.

Plusieurs remarques :

si on trouve h_c (ou h) supérieur à 1, c'est que l'hypothèse de conduction discontinue n'est pas vérifiée : la conduction est en fait continue ;
calculer directement l'expression du courant efficace est très compliqué : on préfère déduire les pertes par effet Joule dans le moteur à partir des autres puissances.

Détail des calculs en conduction discontinue

Les équations différentielles du courant dans le moteur sont :

pour 0 ≤ t ≤ hT

avec i(0) = 0 et i(hT) = I_max

pour hT ≤ t ≤ h_cT

avec i(hT) = I_max et i(h_cT) = 0

pour h_cT ≤ t ≤ T

Nous pouvons calculer le courant moyen I_moy dans le moteur sans avoir calculé I_max :

Nous calculons successivement I_moy0 et I_moy1. Nous écrivons l'équation différentielle du courant entre 0 et hT sous la forme :

Ainsi :

(11)

De même, nous écrivons l'équation différentielle du courant entre hT et h_cT sous la forme :

Ainsi :

(12)

Et de (11) et (12) :

Pour calculer I_max, nous résolvons l'équation différentielle en 0 et hT :

La valeur de I_max est simplement l'expression de ce courant à l'instant hT :

Nous pouvons maintenant calculer h_c ; pour cela, nous résolvons l'équation différentielle du courant entre hT et h_cT :

Puis on exprime que le courant est nul à l'instant h_cT :

Il vient :

Nous allons maintenant évaluer les valeurs moyennes des différentes puissances qui entrent en jeu :

P_c valeur moyenne de la puissance totale consommée ;
P_u valeur moyenne de la puissance utile, c'est à dire la puissance électrique transformée en puissance mécanique ;
P_Jm valeur moyenne des pertes Joules du moteur ;
P_Jd valeur moyenne des pertes Joules dans la diode roue libre.

Ces valeurs sont liées par la relation :

Or, i_S est égal à i entre 0 et hT et est nul entre hT et T :

Nous avons déjà calculé cette intégrale en (11) ; d'où :

La puissance utile instantanée est égale au produit de la fcem du moteur par valeur instantanée du courant i dans le moteur ; comme la fcem est constante, sa valeur moyenne est donnée par :

L'expression des pertes Joules dans la diode (le signe moins apparaît car u et i_d ont même orientation) :

Le courant dans la diode est nul entre 0 et ht et vaut i entre hT et T ; dans cet intervalle, la chute de tension directe dans la diode est considérée constante et égale à V_D. Donc u = -V_D.

Cette intégrale a déjà été calculée en (12), d'où :

Tension hachée et pertes par effet Joule (2)

Jean-Luc, Pierre — 2013-09-20T14:08:02Z

Nous allons maintenant examiner les deux types de conduction. Les formules et équations seront données en annexe dans un prochain article.

Pour simplifier on va considérer un hachage dont le rapport cyclique est de 50%. C'est à dire que l'interrupteur est fermé autant de temps qu'il est ouvert. Comme ceci :

Commande du transistor qui remplit le rôle d'interrupteur

Pendant A, l'interrupteur est fermé. Pendant B, il est ouvert

On rappelle les grandeurs que l'on utilise :

U₀ est la tension d'alimentation ;
E est la force contre-électromotrice du moteur ;
V_D est la tension de seuil de la diode.

La conduction discontinue

La conduction discontinue correspond au cas où la fréquence de hachage est suffisamment faible pour que le courant dans le moteur ait le temps d'atteindre sa valeur maximum quand l'interrupteur est fermé et le temps de retomber à 0 quand l'interrupteur est ouvert.

Quand on mesure la tension aux bornes du moteur, on obtient ceci :

Tension aux bornes du moteur en conduction discontinue

Si on mesure le courant qui circule dans le moteur, on obtient ceci :

Courant qui circule dans le moteur en conduction discontinue

Pendant A, il croit exponentiellement jusqu'à atteindre I_max. Pendant B1, il décroit exponentiellement jusqu'à atteindre 0 au bout de h_c. Pendant B2, il reste à 0.

La conduction continue

La conduction continue correspond au cas où la fréquence de hachage est suffisamment élevée pour que le courant dans le moteur n'ait pas le temps d'atteindre sa valeur maximum quand l'interrupteur est fermé ni le temps de devenir nul quand l'interrupteur est ouvert.

Comme le courant n'a pas le temps de s'annuler, la diode roue libre conduit pendant tout le temps où l'interrupteur est ouvert et la tension aux bornes du moteur varie comme ceci :

Tension aux bornes du moteur en conduction continue

Pendant A, le moteur est alimenté, Pendant B, il ne l'est pas et la diode roue libre conduit.

En conduction continue, la force contre-électromotrice n'apparaît pas aux bornes du moteur.

Le courant i dans le moteur, valant I₀ au moment où l'interrupteur se ferme, croît exponentiellement jusqu'à atteindre la valeur I_h au bout de h ; en pratique, la constante de temps permet d'assimiler cette exponentielle à un segment de droite. Quand l'interrupteur se ferme, le courant décroît exponentiellement jusqu'à I₀ ; en fait, pour la même raison, c'est aussi un segment de droite.

Courant qui circule dans le moteur en conduction continue

Quelques résultats

D'abord le moteur est caractérisé par deux grandeurs, sa résistance R et son inductance L. Pour la locomotive à l'échelle N précédente (Roco BR 80), R = 13Ω, et une mesure directe de l'inductance donne L = 0,59mH.

Ensuite, il nous faut un point de fonctionnement comme base de calcul. Nous prenons celui présenté dans le premier article ainsi, nous pourrons faire des comparaisons directes des résultats obtenus. Voici un rappel de ce point de fonctionnement.

La locomotive tracte huit wagons sous une tension de 7,5V et consomme un courant d'environ 355mA.

On en déduit :

le fcem du moteur : 7,5V - 13Ω × 355mA = 2,89V ;
la puissance électrique : 7,5V × 355mA = 2,66W ;
la puissance mécanique fournie : 2,89V × 355mA = 1,02W ;
les pertes par effet Joule : 13Ω × 355mA × 355mA = 1,64W.

Si une tension hachée déplace la locomotive à la même vitesse pour la même charge que la tension continue, alors :

la fcem, qui dépend que de la vitesse de rotation du moteur, est la même : 2,89V ;
la puissance mécanique du moteur est la même : on en déduit que la valeur moyenne I_moy du courant haché est égale à la valeur du courant continu (355mA), et ceci que la conduction soit continue ou non.

Fréquence limite de conduction continue

Il s'agit de la fréquence de la PWM telle que la conduction cesse d'être discontinue et devient continue pour différentes tensions d'alimentation. La tension de seuil de la diode roue libre V_D est fixée à 0,6V.

U₀	Fréquence limite pour V_D=0,6V
9V	3 492 Hz
12V	7 434 Hz
15V	9 331 Hz
18V	10 573 Hz
20V	11 192 Hz

Pour calculer les pertes par effet Joule des deux modes de conduction, on va fixer la fréquence de la PWM bien en dessous de ce seuil pour la conduction discontinue et bien au dessus de ce seuil pour la conduction continue.

Dans les tableaux qui suivent, on va s'intéresser aux valeurs de :

h : le rapport cyclique de la PWM ;
I_max : le courant maximum dans le moteur ;
h_c : le temps en % de la période de la PWM au bout duquel le courant devient nul ;
P_c : la puissance moyenne consommée par le moteur ;
P_Jd : la puissance dissipée dans la diode par effet Joule ;
P_Jm : la puissance dissipée dans le moteur par effet Joule.

Conduction discontinue

En conduction discontinue, on considère deux fréquences de hachage, 100Hz et 500Hz, et 3 tensions U₀ d'alimentation.

Fréquence de la PWM	U₀	h	I_max	h_c	P_c	P_Jd	P_Jm
100Hz	9V	75.8%	470mA	76.3%	3.19W	0.00W	2.16W
500Hz	9V	76.8%	470mA	79.1%	3.15W	0.01W	2.12W
100Hz	12V	50.9%	701mA	51.5%	4.24W	0.00W	3.21W
500Hz	12V	51.8%	701mA	54.7%	4.16W	0.01W	3.13W
100Hz	15V	38.3%	932mA	39.0%	5.29W	0.00W	4.26W
500Hz	15V	39.1%	932mA	42.5%	5.14W	0.01W	4.11W

On voit que la tension hachée basse fréquence alliée à une source de tension élevée est très stressante pour le moteur : à 100Hz sous 12V, les pertes Joules (et donc l'échauffement du moteur) sont presque 2 fois plus élevées qu'en tension continue. À 100Hz sous 15V, les pertes Joules sont 2,6 fois celles du fonctionnement sous tension continue !

On voit aussi qu'augmenter la fréquence de hachage diminue les pertes par effet Joule. Dans tous les cas, les pertes par effet Joule dans la diode sont très faibles.

Conduction continue

En conduction continue, on considère également 2 fréquences de hachage, 20kHz et 40kHz, et 3 tensions U₀ d'alimentation. Le 32kHz et 12V ont été ajoutés car c'est ce que nous utilisons dans les cartes 4 alimentations [1].

Fréquence de la PWM	U₀	h	I₀	I_h	P_c	P_Jd	P_Jm
20kHz	12V	64.3%	229mA	469mA	2.80W	0.07W	1.70W
32kHz	12V	64.3%	277mA	428mA	2.76W	0.07W	1.66W
40kHz	12V	64.3%	292mA	414mA	2.76W	0.08W	1.65W
20kHz	20V	39.3%	159mA	566mA	2.97W	0.12W	1.82W
20kHz	25V	31.7%	141mA	600mA	3.04W	0.14W	1.87W

Les résultats parlent d'eux-mêmes : sous 20kHz et 12V, les pertes Joules sont de 1,70W, quasiment égales aux pertes en continu qui rappelons le sont de 1,64W. Sous 25V à la même fréquence, les pertes Joules sont inférieures à celles sous 9V à 100Hz.

Et les moteurs à rotor sans fer dans tout cela

Hormis une construction mécanique différente, ces moteurs sont caractérisés par une inductance plus faible et une inductance plus faible va conduire à l'augmentation du courant efficace et donc augmenter les pertes par effet Joule en conduction discontinue. De plus, et c'est particulièrement vrai à l'échelle N, les moteurs sont plus petits et dissipent moins bien la chaleur. Par ailleurs, étant plus petits, il ont une résistance plus forte. Ainsi le moteur Faulhaber 1016N012G de 10mm de Ø a une résistance de 95Ω [2]. Un moteur plus gros, le Faulhaber 2224SR012 de 22mm de Ø a une résistance de 8,71Ω [3].

Pour toutes ces raisons, il est important de réduire les pertes par effet Joule au minimum pour les petits moteurs et spécialement pour les moteurs à rotor sans fer.

Mais alors pourquoi trouve-t-on dans le commerce ou en construction amateur des alimentation basse fréquence ?

Hacher à basse fréquence permet d'obtenir d'excellents ralentis. En effet, comme la conduction est discontinue, le courant atteint sa valeur maximum et par conséquent le couple instantané est important et donc le ralenti est meilleur. Il est d'autant meilleur que la tension en importante puisqu'elle conduira à un courant plus fort [4].

Mais ces alimentations sont stressantes pour les petits moteurs et les moteurs à rotor sans fer.

Conclusion

D'un point de vue énergétique, la tension continue pure est la meilleure : elle minimise les pertes Joule. Cependant, elle présente à mon avis deux défauts :

elle ne permet pas d'obtenir de bons ralentis ;
si elle minimise les pertes Joule dans le moteur, celles dans le transistor de puissance qui n'est pas en régime saturé sont importantes, ce qui impose un radiateur de forte dimension.

À mon avis, la meilleure solution est la tension hachée en conduction continue (le transistor fonctionne en commutation). Elle impose au moteur une surchauffe minime. Il faut se placer largement au dessus de la fréquence limite, en vérifiant que le transistor de commutation et l'alimentation puissent suivre à la fréquence choisie. De plus, choisir une fréquence au delà des fréquences audibles est souhaitable.

Évidemment, la tension hachée en conduction continue présente le même défaut qu'une tension continue pure, la mauvaise qualité des ralentis.

Ce défaut disparaît si le rapport cyclique est asservi à la vitesse réelle. La vitesse de la locomotive n'est pas le résultat d'une PWM choisie par le conducteur. La vitesse est une consigne de fcem. L'alimentation interrompt périodiquement la PWM afin de mesurer la fcem. Si la fcem mesurée est plus petite que la consigne, on augmente la PWM, si elle est plus grande on diminue la PWM [5]. De cette manière, la PWM est adaptée en permanence de manière à conserver une vitesse constante. Cette régulation joue aussi le rôle de compensation de charge et fait que quelle que soit [6] la pente ou la rame tractée, la vitesse sera celle voulue par la consigne.

[1] C'est aussi la fréquence de hachage utilisées dans les décodeurs Viessmann 5242, 5243 ou encore 5248.

[2] Voir http://www.faulhaber.com/uploadpk/F...

[3] Voir http://www.faulhaber.com/uploadpk/F...

[4] C'est un peu comme quand on emploie un marteau pour ajuster des pièces. En tapant des petits coups, la pièce va bouger et aller à sa place doucement (alimentation hachée). En appuyant dessus fortement, la pièce ne bouge pas jusqu'à ce que la force soit assez grande et là elle bouge d'un coup et plus loin que prévu (alimentation continue)

[5] Il faut calculer cette commande dans les règles de l'art de l'automatique

[6] Dans les limites de ce que peut accomplir la locomotive

Tension hachée et pertes par effet Joule (1)

Jean-Luc, Pierre — 2013-09-04T09:01:52Z

Cet article est le premier d'une série de 4 traitant de l'alimentation par tension hachée des moteurs électriques de nos locomotives. On entend beaucoup de bêtises sur les forums à ce propos, notamment en ce qui concerne les moteurs à rotor sans fer :

Les moteurs à rotor sans fer n'aiment pas les alimentations à courant pulsé [1]

Comme on va le voir, cette affirmation n'est pas tout à fait vraie. Les choses sont rarement simples et il faut entrer dans les détails pour comprendre.

Un petit mot sur les moteurs à rotor sans fer avant de commencer. Le fonctionnement de ces moteurs n'est pas fondamentalement différent du fonctionnement des moteurs à rotor ferreux. Ça reste une histoire d'aimants et d'électro-aimants qui se repoussent et s'attirent selon le sens du courant et il y a toujours des balais. Du point de vue de leur alimentation, la différence est la faible inductance, L, qu'ils présentent. Bien plus faible que celle des moteurs à rotor ferreux. Pour comprendre ce que ça implique, il va falloir entrer dans les détails et je ne vous cache pas que ça va être compliqué.

Pierre est bien plus compétent que moi pour traiter ce sujet et de plus il l'a déjà traité, je lui laisse la place.

L'alimentation de nos locomotives

L'alimentation des locomotives miniatures en tension hachée est un classique, ce type de tension permettant notamment d'obtenir de meilleurs ralentis. Nous étudions cette alimentation d'un point de vue uniquement orienté vers le bilan de puissance. En effet, la puissance électrique fournie par l'alimentation est transformée par le moteur en puissance mécanique et pertes par effet Joule dans la résistance du moteur.

La puissance mécanique est fonction de la valeur moyenne du courant dans le moteur, tandis que les pertes Joule sont fonction du carré du courant efficace.

Prenons un cas extrême pour illustrer cela : l'alimentation d'un moteur à courant continu avec une tension alternative centrée sur 0 comme celle du secteur. Pour les alternances positives, le moteur devrait tourner dans un sens et pour les alternances négatives dans l'autre sens. Dans les faits le moteur ne tourne pas du tout car le courant change de sens trop vite. Par conséquent, sa puissance mécanique est nulle. Le courant efficace lui n'est pas nul, il provoque des pertes importantes par effet Joule et le moteur chauffe considérablement. En l'occurrence, pour un signal sinusoïdal, il est égal à

De la même manière, une tension hachée peut engendrer un courant dont la valeur moyenne est plus faible que sa valeur efficace : autrement dit, le moteur « chauffe » de manière importante, même sous des allures qui semblent raisonnables. Nous verrons que ceci est particulièrement vrai lorsque la fréquence de hachage est faible et la tension de la source importante. Or, plus un moteur est petit, plus sa résistance électrique est importante, et moins il peut « encaisser » des chocs thermiques.

Dans cet article, nous présentons les principaux résultats pour une tension continue ainsi que le principe de la tension hachée. Le deuxième article présente le fonctionnement avec tension hachée en conduction discontinue et en conduction continue. Les troisième et quatrième sont des annexes techniques détaillant les calculs et les équations employées.

Nous nous plaçons délibérement du point de vue des pertes Joules du moteur. L'agrément de conduite que procure une alimentation n'est pas prise en compte, sauf dans la conclusion.
Pour caractériser un moteur, il suffit de connaître sa résistance R et son inductance L. Pour chaque essai en tension continue pure, il suffit de mesurer la tension aux bornes du moteur et le courant qu'il consomme pour prévoir son comportement sous tension hachée à la même allure.

L'alimentation en tension continue

La seule caractéristique utile du moteur alimenté en tension continue est alors sa résistance R (qui peut être mesurée avec un ohm-mètre).
Alimenté sous une tension continue U, le courant qui le traverse est I, et sa force contre-électromotrice [2] est E ; ces grandeurs sont liées par la relation :

(1)

Le moteur fournit un couple C, et tourne à une vitesse Ω ; on montre :

(2)

En multipliant par I la première relation (1) on obtient (cela va donner la puissance électrique P = UI) :

(3)

Autrement dit : la puissance électrique fournie par la source (U I) est transformée en puissance
mécanique (E I), et en pertes par effet Joule, de la chaleur (R I²).

Par exemple, la locomotive Roco BR 80 (échelle N) a un moteur qui présente une résistance de 13Ω environ [3]. Entraînant huit wagons sous une tension de 7,5V, elle consomme un courant d'environ 355mA.

On en déduit :

le fcem du moteur : 7,5V - 13Ω × 355mA = 2,89V ;
la puissance électrique : 7,5V × 355mA = 2,66W ;
la puissance mécanique fournie : 2,89V × 355mA = 1,02W ;
les pertes par effet Joule : 13Ω × 355mA × 355mA = 1,64W.

Plus de 60% de la puissance électrique est perdue par effet Joule (c'est très important : un moteur industriel de quelques kW présente habituellement des pertes inférieures à 30%).

La tension hachée

L'alimentation en tension hachée consiste à alimenter en tout ou rien. La tension qui alimente le moteur est soit à 0V, soit à la tension maximum, 12V typiquement, et on alterne périodiquement entre 0V et 12V.

Le rapport de h, temps que l'alimentation passe à la tension maximum, sur la période est appelé le rapport cyclique. On appelle également cela une MLI (Modulation de Largeur d'Impulsion) ou PWM en anglais (Pulse Width Modulation). La variation de vitesse du moteur est obtenue en changeant h. Par exemple, on obtiendra une rotation lente en fixant h à 25% de la période.

PWM à 25%

Et une rotation plus rapide en fixant h à 75% de la période.

PWM à 75%

Pour générer ce type d'alimentation, il faut un montage électronique qu'on appelle un hacheur. Le shéma général d'un hacheur est le suivant :

Schéma général d'un hacheur

La source délivre une tension constante U₀. Le courant instantané dans la source est i_s. Le courant instantané dans le moteur est i, et la tension instantanée à ses bornes u. Le transistor de puissance est assimilé à un interrupteur idéal (qui s'ouvre et se ferme instantanément, qui ne présente aucune chûte de tension quand il est fermé, et aucun courant de fuite quand il est ouvert). Nous considérons que la diode roue libre présente une tension de seuil non nulle V_D [4].

Le rôle du transistor est assez évident. Quand l'interrupteur est fermé le moteur est alimenté, quand il est ouvert, il ne l'est pas. Quand l'interrupteur est fermé, la diode est polarisée en inverse. Elle est donc bloquée et on peut oublier sa présence comme montré dans la figure ci-dessous.

Circuit équivalent quand l'interrupteur est fermé

Jusqu'à maintenant c'est relativement simple.

Quand on ouvre l'interrupteur, Ça devient plus compliqué mais ne partez pas tout de suite.

Quand on a examiné l'alimentation à tension continue dans le paragraphe précédent, on a évacué l'inductance du moteur car si la tension est constante, le courant est constant. Et quand le courant est constant, l'inductance de joue aucun rôle.

Ici la tension n'est pas constante et donc le courant ne l'est pas non plus. Par conséquent l'inductance joue un rôle. Et donc le moteur est assimilé au circuit suivant :

Circuit équivalent pour le moteur

E est la force contre-électromotrice que l'on symbolise par un générateur de tension, R est la résistance du moteur, L est l'inductance.

Une inductance est une sorte de résistance aux variations du courant. Par conséquent, quand on va établir ou couper l'alimentation du moteur, le courant ne va pas suivre instantanément. Il va suivre comme montré à la figure suivante :

Évolution du courant dans le moteur alimenté par une tension hachée

La fréquence de la PWM a été choisie de manière à ce que le courant devienne maximum au moment de l'ouverture de l'interrupteur et nul au moment de sa fermeture.
La montée et la descente ne sont pas symétriques. Le courant met plus de temps à croître qu'à décroître, cela vient de la force contre-électromotrice.

Donc, quand on va couper l'alimentation, le courant i ne va pas être nul immédiatement et il faut bien qu'il aille quelque part. C'est la que la diode entre en jeu. Le circuit équivalent est présenté ci-dessous. Quand on coupe l'alimentation, le courant i va circuler dans la diode et le moteur et il va continuer un certain temps à cause de l'inductance qui résiste à sa variation tandis que la force contre-électromotrice E essaye de faire diminuer le courant. À ce moment la tension aux bornes du moteur est l'inverse de la tension de seuil de la diode : -V_D.

Circuit équivalent quand l'interrupteur est ouvert

Au bout d'un moment le courant devient nul, la force contre-électromotrice E reste seule et apparaît aux bornes du moteur et la diode roue libre se retrouve de nouveau polarisée en inverse et donc plus aucun courant ne circule. Evidemment, on parle ici de durées qui sont très petites devant le temps de réponse de la mécanique et quand la E apparaît aux bornes du moteur, la vitesse de rotation Ω n'a pratiquement pas changé.

Conduction discontinue et conduction continue

Si on hache doucement, disons à 50Hz ou 100Hz, le courant i va effectivement passer de 0 à sa valeur maximum pendant que l'interrupteur est fermé et va redevenir nul pendant que l'interrupteur est ouvert. Il a suffisamment de temps pour le faire. Il se passe ce qui a été décrit dans la section précédent C'est ce qu'on appelle la conduction discontinue.

Par contre, si on hache rapidement, disons 20kHz, le courant i n'aura pas le temps d'atteindre sa valeur maximum lorsque l'interrupteur est fermé, ni le temps d'atteindre 0 quand l'interrupteur est ouvert. C'est ce qu'on appelle la conduction continue.

Ces deux types de conduction font l'objet du prochain article.

[1] Curieusement, dit comme ça, ce n'est pas complètement faux, du moins si l'amplitude de la pulsation est importante. Mais la plupart des gens confondent tension et courant et c'est en fait compris comme Alimentation à tension hachée. Comprise comme ça, cette affirmation est fausse.

[2] Un moteur électrique est aussi une dynamo. Lorsqu'il tourne il génère une tension qui s'oppose à la tension d'alimentation et qui s'appelle la force contre-électromotrice ou fcem

[3] D'après les informations glanées sur Internet, cette locomotive n'est pas munie d'un moteur à rotor sans fer et ne possède pas d'éclairage

[4] Une diode est un composant qui ne laisse passer le courant que dans un seul sens (celui de la flèche). Elle a aussi une tension de seuil, V_D, qui vaut environ 0,6V.